f(z) = zbar: Ось a недиференційована функція: зберігає кути, але не орієнтацію. Яким чином рівняння Коші-Рімана не виконуються? f(z) = x + y + iy: ось функція, визначена в термінах дійсної та уявної частин z.
Це випливає з рівняння CR, оскільки v(x, y) = 0 для всіх x + iy ∈ C і, отже, усі часткові похідні від v також дорівнюють нулю, а отже, те саме вірно для u. Таким чином, функція f(z) = |z|2 є не диференційована для z = 0.
Диференційованість і неперервність Функція абсолютної величини є неперервною (тобто не має пропусків). Він диференційований скрізь, крім точки x = 0, де він робить різкий поворот, перетинаючи вісь y. Вершина на графіку неперервної функції. У нулі функція неперервна, але не диференційована.
Множення на комплексне число є поворотом або масштабуванням комплексної площини, таким чином вона зберігає орієнтацію. Це означає, що f має зберігати орієнтацію локально, навколо z0. Сполучення є відображенням, тому воно змінює орієнтацію, тому його не можна диференціювати в будь-якій точці в комплексному сенсі.
Ліва межа не дорівнює правій межі, і тому межа частки різниці f(x) = |x| при x = 0 не існує. Таким чином, функція абсолютного значення є не диференційована при x = 0.