Незважаючи на те, що функція ніде не диференційована, вона неперервна: Оскільки члени нескінченного ряду, який його визначає, обмежені ±aп і це має кінцеву суму для 0 < a < 1, збіжність суми доданків рівномірна за М-тестом Вейєрштрасса з Mп = ап.
Будь-яка диференційована функція завжди неперервна. Однак неперервна функція не повинна бути диференційовною. Будь-яка функція на графіку, де відбувається різкий поворот, вигин або вигин, може бути неперервною, але не диференційованою в цих точках.
У 1872 році Карл Вейерштрасс став першим, хто опублікував приклад неперервної, ніде не диференційованої функції [5]. Тепер відомо, що кілька математиків, у тому числі Бернард Больцано, побудували такі функції до цього часу.
І у випадку, якщо f(x) називається неперервною, ми не можемо просто сказати, що вона диференційовна, оскільки це не просто межа f(x), яку ми обчислюємо, але межа нахилу f(x) – це те, що нам потрібно обчислити, щоб знайти властивість диференційованості f(x).
Безперервна функція може мати кути, але не отвори або розриви (стрибки). функції, які не можуть бути неперервними в деяких точках, часто є неперервними в більшості місць.
Функція називається диференційовною якщо похідна функції існує в усіх точках її визначення. Зокрема, якщо функція f(x) диференційовна при x = a, то f′(a) існує в області визначення.